Tālā pagātnē, kad skaitļu sistēma vēl nebija izgudrota, cilvēki visu skaitīja uz pirkstiem. Līdz ar aritmētikas un matemātikas pamatu parādīšanos kļuva daudz vieglāk un praktiskāk izsekot līdzi precēm, produktiem un sadzīves priekšmetiem. Tomēr, kā izskatās mūsdienu aprēķinu sistēma: kādos veidos tiek iedalīti esošie skaitļi un ko nozīmē “skaitļu racionālā forma”? Izdomāsim.
Cik skaitļu veidu ir matemātikā?
Pats jēdziens “skaitlis” apzīmē noteiktu jebkura objekta vienību, kas raksturo tā kvantitatīvos, salīdzinošos vai kārtas rādītājus. Lai pareizi aprēķinātu noteiktu lietu skaitu vai veiktu noteiktas matemātiskas darbības ar skaitļiem (saskaitīt, reizināt utt.), Vispirms jums jāiepazīstas ar šo pašu skaitļu šķirnēm.
Tātad esošos numurus var iedalīt šādās kategorijās:
- Naturālie skaitļi ir tie skaitļi, ar kuriem mēs saskaitām objektu skaitu (mazākais dabiskais skaitlis ir 1, loģiski, ka sērija naturālie skaitļi ir bezgalīgs, t.i., nav lielākā naturālā skaitļa). Dabisko skaitļu kopu parasti apzīmē ar burtu N.
- Veseli skaitļi. Šajā komplektā ietilpst viss, savukārt tam tiek pievienotas arī negatīvās vērtības, ieskaitot skaitli “nulle”. Veselu skaitļu kopas apzīmējums ir rakstīts kā latīņu burts Z.
- Racionālie skaitļi ir tie, kurus mēs varam mentāli pārveidot par daļskaitli, kuras skaitītājs piederēs veselo skaitļu kopai, bet saucējs piederēs naturālo skaitļu kopai. Tālāk mēs sīkāk aplūkosim, ko nozīmē “racionālais skaitlis”, un sniegsim dažus piemērus.
- - kopa, kas ietver visus racionālos un Šo kopu apzīmē ar burtu R.
- Kompleksie skaitļi satur daļu no reāla skaitļa un daļu no mainīgā skaitļa. Tos izmanto dažādu kubisko vienādojumu risināšanā, kuriem, savukārt, formulās var būt negatīva izteiksme (i 2 = -1).
Ko nozīmē “racionāls”: apskatīsim piemērus
Ja tos skaitļus, kurus varam attēlot kā parastu daļskaitli, uzskata par racionāliem, tad izrādās, ka racionālo skaitļu kopā ir iekļauti arī visi pozitīvie un negatīvie veselie skaitļi. Galu galā jebkuru veselu skaitli, piemēram, 3 vai 15, var attēlot kā daļskaitli, kur saucējs ir viens.
Daļas: -9/3; 7/5, 6/55 ir racionālu skaitļu piemēri.
Ko nozīmē “racionāla izteiksme”?
Uz priekšu. Mēs jau esam apsprieduši, ko nozīmē racionālā skaitļu forma. Tagad iedomāsimies matemātisko izteiksmi, kas sastāv no dažādu skaitļu un mainīgo lielumu summas, starpības, reizinājuma vai koeficienta. Šeit ir piemērs: daļa, kurā skaitītājs ir divu vai vairāku veselu skaitļu summa, un saucējs satur gan veselu skaitli, gan kādu mainīgo. Tieši šādu izteiksmi sauc par racionālu. Pamatojoties uz noteikumu “jūs nevarat dalīt ar nulli”, varat uzminēt, ka šī mainīgā vērtība nevar būt tāda, ka saucēja vērtība kļūst nulle. Tāpēc, risinot racionālu izteiksmi, vispirms ir jānosaka mainīgā diapazons. Piemēram, ja saucējam ir šāda izteiksme: x+5-2, tad izrādās, ka “x” nevar būt vienāds ar -3. Patiešām, šajā gadījumā visa izteiksme kļūst par nulli, tāpēc, risinot, šim mainīgajam ir jāizslēdz vesels skaitlis -3.
Kā pareizi atrisināt racionālos vienādojumus?
Racionālas izteiksmes var saturēt diezgan daudz liels skaits skaitļi un pat 2 mainīgie, tāpēc dažreiz to risināšana kļūst sarežģīta. Lai atvieglotu šādas izteiksmes atrisināšanu, dažas darbības ieteicams veikt racionāli. Tātad, ko nozīmē “racionāli” un kādi noteikumi būtu jāievēro, pieņemot lēmumu?
- Pirmais veids, kad pietiek tikai ar izteiksmes vienkāršošanu. Lai to izdarītu, varat izmantot darbību, kas samazina skaitītāju un saucēju līdz nesamazināmai vērtībai. Piemēram, ja skaitītājs satur izteiksmi 18x, bet saucējs 9x, tad, samazinot abus eksponentus par 9x, mēs vienkārši iegūstam veselu skaitli, kas vienāds ar 2.
- Otrā metode ir praktiska, ja mums ir mononoms skaitītājā un polinoms saucējā. Apskatīsim piemēru: skaitītājā mums ir 5x, bet saucējā - 5x + 20x 2. Šajā gadījumā vislabāk ir izņemt mainīgo saucējā no iekavām, mēs iegūstam šādu saucēja formu: 5x(1+4x). Tagad varat izmantot pirmo noteikumu un vienkāršot izteiksmi, atceļot 5x skaitītājā un saucējā. Rezultātā mēs iegūstam formas daļu 1/1+4x.
Kādas darbības var veikt ar racionāliem skaitļiem?
Racionālo skaitļu kopai ir vairākas savas īpašības. Daudzi no tiem ir ļoti līdzīgi veselo skaitļu un naturālo skaitļu pazīmēm, jo pēdējie vienmēr tiek iekļauti racionālo skaitļu kopā. Šeit ir dažas racionālo skaitļu īpašības, kuras zinot, jūs varat viegli atrisināt jebkuru racionālu izteiksmi.
- Komutatīvais īpašums ļauj summēt divus vai vairākus skaitļus neatkarīgi no to secības. Vienkārši sakot, mainot terminu vietas, summa nemainās.
- Sadales īpašība ļauj atrisināt problēmas, izmantojot izplatīšanas likumu.
- Un visbeidzot, saskaitīšanas un atņemšanas darbības.
Pat skolēni zina, ko nozīmē “skaitļu racionālā forma” un kā uz šādiem izteicieniem risināt problēmas, tāpēc izglītotam pieaugušajam vienkārši jāatceras vismaz racionālo skaitļu kopas pamati.
Šī nodarbība aptver racionālu skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu. Tēma ir klasificēta kā sarežģīta. Šeit ir nepieciešams izmantot visu iepriekš iegūto zināšanu arsenālu.
Noteikumi par veselu skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu attiecas arī uz racionāliem skaitļiem. Atcerieties, ka racionālie skaitļi ir skaitļi, kurus var attēlot kā daļskaitli, kur a –šis ir daļskaitļa skaitītājs, b ir daļskaitļa saucējs. kurā, b nedrīkst būt nulle.
Šajā nodarbībā mēs arvien biežāk daļskaitļus un jauktos skaitļus sauksim ar vienu izplatītu frāzi - racionālie skaitļi.
Nodarbības navigācija:1. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka izteiksmē dotais pluss ir darbības zīme un neattiecas uz daļskaitli. Šai daļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Lai pievienotu racionālus skaitļus ar dažādām zīmēm, no lielākā moduļa ir jāatņem mazāks modulis un pirms iegūtās atbildes jāievieto tā racionālā skaitļa zīme, kura modulis ir lielāks. Un, lai saprastu, kurš modulis ir lielāks un kurš mazāks, pirms to aprēķināšanas jums ir jāspēj salīdzināt šo daļu moduļi:
Racionālā skaitļa modulis ir lielāks par racionālā skaitļa moduli. Tāpēc mēs atņēmām no . Mēs saņēmām atbildi. Tad, samazinot šo daļu par 2, mēs saņēmām galīgo atbildi.
Dažas primitīvas darbības, piemēram, skaitļu ievietošanu iekavās un moduļu pievienošanu, var izlaist. Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
2. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Mēs ņemam vērā, ka mīnuss, kas stāv starp racionālajiem skaitļiem, ir darbības zīme un neattiecas uz daļskaitli. Šai daļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu. Atgādināsim, ka, lai to izdarītu, minuend ir jāpievieno skaitlis, kas ir pretējs apakšrindai:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Lai pievienotu negatīvus racionālos skaitļus, jums jāpievieno to moduļi un jāievieto mīnuss pirms iegūtās atbildes:
Piezīme. Nav nepieciešams katru racionālo skaitli likt iekavās. Tas tiek darīts ērtības labad, lai skaidri redzētu, kuras zīmes ir racionālajiem skaitļiem.
3. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Šajā izteiksmē daļām ir dažādi saucēji. Lai atvieglotu mūsu uzdevumu, reducēsim šīs daļas līdz kopsaucējam. Mēs nekavēsimies sīkāk par to, kā to izdarīt. Ja rodas grūtības, noteikti atkārtojiet nodarbību.
Pēc daļskaitļu samazināšanas līdz kopsaucējam izteiksmei būs šāda forma:
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Mēs atņemam mazāko moduli no lielākā moduļa un pirms iegūtās atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
4. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Aprēķināsim šo izteiksmi šādi: saskaitiet racionālos skaitļus un pēc tam no iegūtā rezultāta atņemiet racionālo skaitli. 
Pirmā darbība:
Otrā darbība:
5. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:
Attēlosim veselu skaitli −1 kā daļskaitli un jaukto skaitli pārveidosim par nepareizu daļu:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Mēs atņemam mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Mēs saņēmām atbildi.
Ir otrs risinājums. Tas sastāv no veselu daļu salikšanas atsevišķi.
Tātad, atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Iekļaujam katru skaitli iekavās. Lai to izdarītu, jauktais numurs ir īslaicīgs:
Aprēķināsim veselo skaitļu daļas:
(−1) + (+2) = 1
Galvenajā izteiksmē (-1) + (+2) vietā mēs ierakstām iegūto vienību:
Rezultātā iegūtā izteiksme ir . Lai to izdarītu, ierakstiet vienību un daļskaitli kopā:
Uzrakstīsim risinājumu īsākā veidā:
6. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Pārveidosim jaukto skaitli par nepareizu daļskaitli. Pārrakstīsim pārējo, nemainot:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
7. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Attēlosim veselu skaitli −5 kā daļskaitli un jaukto skaitli pārveidosim par nepareizu daļskaitli:
Savedīsim šīs daļas pie kopsaucēja. Pēc tam, kad tie tiks samazināti līdz kopsaucējam, tie būs šādā formā:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tādējādi izteiksmes vērtība ir .
Atrisināsim šo piemēru otrā veidā. Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Jaukto skaitli rakstīsim izvērstā veidā. Pārrakstīsim pārējo bez izmaiņām:
Katru racionālo skaitli ievietojam iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aprēķināsim veselo skaitļu daļas:
Galvenajā izteiksmē tā vietā, lai ierakstītu iegūto skaitli −7
Izteiciens ir paplašināts jaukta skaitļa rakstīšanas veids. Mēs rakstām kopā skaitli −7 un daļskaitli, lai izveidotu galīgo atbildi:
Īsi uzrakstīsim šo risinājumu:
8. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Katru racionālo skaitli ievietojam iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tātad izteiksmes vērtība ir
Šo piemēru var atrisināt otrā veidā. Tas sastāv no veselu un daļēju daļu pievienošanas atsevišķi. Atgriezīsimies pie sākotnējās izteiksmes:
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un iegūtās atbildes priekšā ieliksim mīnusu. Bet šoreiz mēs pievienosim veselās daļas (-1 un -2), gan daļskaitļus, gan
Īsi uzrakstīsim šo risinājumu:
9. piemērs. Atrodiet izteiksmes izteiksmes 
Pārvērsīsim jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:
Iekavās ieliksim racionālu skaitli kopā ar tā zīmi. Racionāls skaitlis iekavās nav jāliek, jo tas jau ir iekavās:
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Saskaitīsim šo skaitļu moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
Tātad izteiksmes vērtība ir
Tagad mēģināsim atrisināt to pašu piemēru otrā veidā, proti, pievienojot atsevišķi veselas un daļējas daļas.
Šoreiz, lai iegūtu īsu risinājumu, mēģināsim izlaist dažus soļus, piemēram, jaukta skaitļa rakstīšanu paplašinātā formā un atņemšanas aizstāšanu ar saskaitīšanu:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka daļdaļas ir samazinātas līdz kopsaucējam.
10. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Iegūtā izteiksme nesatur negatīvus skaitļus, kas ir galvenais kļūdu iemesls. Un tā kā nav negatīvu skaitļu, mēs varam noņemt pluszīmi apakšdaļas priekšā un noņemt arī iekavas:
Rezultāts ir vienkārša izteiksme, kuru ir viegli aprēķināt. Aprēķināsim to jebkurā mums ērtā veidā:
11. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietosim racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
12. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Izteiksme sastāv no vairākiem racionāliem skaitļiem. Saskaņā ar to vispirms ir jāveic darbības iekavās.
Vispirms mēs aprēķinām izteiksmi, pēc tam pievienojam iegūtos rezultātus.
Pirmā darbība:
Otrā darbība:
Trešā darbība:
Atbilde: izteiksmes vērtība vienāds
13. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 
Pārvērsīsim jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos:
Racionālo skaitli liksim iekavās kopā ar tā zīmi. Racionālais skaitlis nav jāliek iekavās, jo tas jau ir iekavās:
Savedīsim šīs daļas pie kopsaucēja. Pēc tam, kad tie tiks samazināti līdz kopsaucējam, tie būs šādā formā:
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa, un pirms iegūtās atbildes ievietosim racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
Tādējādi izteiciena nozīme vienāds
Apskatīsim decimāldaļu saskaitīšanu un atņemšanu, kas arī ir racionāli skaitļi un var būt gan pozitīvi, gan negatīvi.
14. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,2 + 4,3
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka izteiksmē dotais pluss ir darbības zīme un neattiecas uz decimāldaļu 4.3. Šai decimāldaļai ir sava pluszīme, kas ir neredzama, jo tā nav pierakstīta. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
(−3,2) + (+4,3)
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Lai pievienotu racionālus skaitļus ar dažādām zīmēm, no lielākā moduļa ir jāatņem mazāks modulis un pirms iegūtās atbildes jāievieto tā racionālā skaitļa zīme, kura modulis ir lielāks. Un, lai saprastu, kurš modulis ir lielāks un kurš ir mazāks, jums ir jāspēj salīdzināt šo decimāldaļskaitļu moduļus pirms to aprēķināšanas:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Skaitļa 4.3 modulis ir lielāks par skaitļa −3.2 moduli, tāpēc no 4.3 mēs atņēmām 3.2. Saņēmām atbildi 1.1. Atbilde ir pozitīva, jo pirms atbildes ir jābūt racionālā skaitļa zīmei, kura modulis ir lielāks. Un skaitļa 4.3 modulis ir lielāks par skaitļa −3.2 moduli
Tādējādi izteiksmes vērtība −3,2 + (+4,3) ir 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
15. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 3,5 + (−8,3)
Tas ir racionālu skaitļu pievienošana ar dažādām zīmēm. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, no lielākā moduļa atņemam mazāko un pirms atbildes ievietojam racionālā skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Tādējādi izteiksmes 3.5 + (−8.3) vērtība ir −4.8
Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
3,5 + (−8,3) = −4,8
16. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −7.2 + (−3.11)
Tas ir negatīvu racionālu skaitļu pievienošana. Lai pievienotu negatīvus racionālos skaitļus, jums jāpievieno to moduļi un jāievieto mīnuss pirms iegūtās atbildes.
Varat izlaist ievadi ar moduļiem, lai nepārblīvētu izteiksmi:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Tādējādi izteiksmes vērtība −7.2 + (−3.11) ir −10.31
Šo piemēru var uzrakstīt īsi:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
17. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −0,48 + (−2,7)
Tas ir negatīvu racionālu skaitļu pievienošana. Pievienosim to moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes. Varat izlaist ievadi ar moduļiem, lai nepārblīvētu izteiksmi:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
18. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −4,9 − 5,9
Iekļaujam katru racionālo skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm. Ņemam vērā, ka mīnuss, kas atrodas starp racionālajiem skaitļiem −4,9 un 5,9, ir darbības zīme un nepieder pie skaitļa 5,9. Šim racionālajam skaitlim ir sava plusa zīme, kas ir neredzama, jo tas nav pierakstīts. Bet skaidrības labad mēs to pierakstīsim:
(−4,9) − (+5,9)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
(−4,9) + (−5,9)
Mēs ieguvām negatīvu racionālu skaitļu pievienošanu. Pievienosim to moduļus un ieliksim mīnusu pirms iegūtās atbildes:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Tādējādi izteiksmes vērtība −4,9 − 5,9 ir −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
19. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību 7 − 9.3
Ieliksim katru skaitli iekavās kopā ar tā zīmēm.
(+7) − (+9,3)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Tādējādi izteiksmes 7 − 9,3 vērtība ir −2,3
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
7 − 9,3 = −2,3
20. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −0,25 − (−1,2)
Aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
−0,25 + (+1,2)
Mēs ieguvām racionālu skaitļu pievienošanu ar dažādām zīmēm. Atņemsim mazāko moduli no lielākā moduļa un pirms atbildes ievietosim skaitļa zīmi, kura modulis ir lielāks:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Īsi pierakstīsim šī piemēra risinājumu:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
21. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,5 + (4,1 − 7,1)
Veiksim darbības iekavās, pēc tam saskaitām iegūto atbildi ar skaitli −3.5
Pirmā darbība:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Otrā darbība:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Atbilde: izteiksmes −3,5 + (4,1 − 7,1) vērtība ir −6,5.
22. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)
Veiksim iekavās norādītās darbības. Pēc tam no skaitļa, kas iegūts, izpildot pirmās iekavas, atņemiet skaitli, kas iegūts, izpildot otro iekavu:
Pirmā darbība:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Otrā darbība:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Trešais cēliens
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Atbilde: izteiksmes (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) vērtība ir 6.
23. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Iekļaujam katru racionālo skaitli kopā ar tā zīmēm iekavās
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Ja iespējams, aizstāsim atņemšanu ar saskaitīšanu:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Izteiciens sastāv no vairākiem terminiem. Saskaņā ar kombinēto saskaitīšanas likumu, ja izteiksme sastāv no vairākiem terminiem, tad summa nebūs atkarīga no darbību secības. Tas nozīmē, ka noteikumus var pievienot jebkurā secībā.
Neizgudrosim riteni no jauna, bet pievienosim visus terminus no kreisās puses uz labo to parādīšanās secībā:
Pirmā darbība:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Otrā darbība:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Trešā darbība:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Atbilde: izteiksmes −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 vērtība ir 1.
24. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību
Pārvērsīsim decimāldaļu −1,8 par jauktu skaitli. Pārrakstīsim pārējo, nemainot:
Pašreizējais datoru automatizācijas rīku attīstības līmenis daudziem ir radījis ilūziju, ka nemaz nav nepieciešams attīstīt skaitļošanas prasmes. Tas ietekmēja skolēnu sagatavotību. Ja nav kalkulatora, pat vienkārši skaitļošanas uzdevumi daudziem kļūst par problēmu.
Tajā pašā laikā vienotā valsts eksāmena eksāmena uzdevumos un materiālos ir daudz uzdevumu, kuru risināšanai ir nepieciešama ieskaites kārtotāju spēja racionāli organizēt aprēķinus.
Šajā rakstā mēs apskatīsim dažas metodes aprēķinu optimizēšanai un to pielietojumu konkurences problēmām.
Visbiežāk aprēķinu optimizēšanas metodes ir saistītas ar aritmētisko darbību veikšanas pamatlikumu piemērošanu.
Piemēram:
125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; vai
98 16 (100–2) 16 = 100 16 – 2 16 = 1600 – 32 = 1568 utt.
Cits virziens - saīsināto reizināšanas formulu lietošana.
96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; vai
115 2 = (100 + 15) 2 = 10 000 + 2 15 100 + 225 = 10525.
Sekojošais piemērs ir interesants aprēķiniem.
Aprēķināt:
(197 ·
203 + 298 ·
302 + 13) / (1999 ·
2001 + 2993 ·
3007 + 50) =
= ((200 – 3) ·
(200 + 3) + (300 – 2) ·
(300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) ·
(2000 + 1) + (3000 – 7) ·
(3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01
Šie ir gandrīz standarta veidi, kā optimizēt aprēķinus. Dažkārt tiek piedāvāti arī eksotiskāki. Kā piemēru apsveriet metodi, kā reizināt divciparu skaitļus, kuru vienību summa ir 10.
54 26 = 50 30 + 4 (26–50) = 1500–96 =1404 vai
43 87 = 40 90 + 3 (87–40) = 3600 + 141 = 3741.
Reizināšanas shēmu var saprast no attēla.
No kurienes nāk šī reizināšanas shēma?
Mūsu skaitļiem atbilstoši nosacījumam ir forma: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Sastādīsim skaņdarbu:
M K = (10 m + n) (10 k + (10 – n)) =
= 100 mk + 100 m – 10 min + 10 nk + 10 n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n (10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) un metode ir pamatota.
Ir daudz gudru veidu, kā diezgan sarežģītus aprēķinus pārvērst garīgās problēmās. Bet jūs nevarat domāt, ka ikvienam ir jāatceras šie un daudzi citi gudri veidi, kā vienkāršot aprēķinus. Ir svarīgi tikai iemācīties dažus pamatus. Citu analīzei ir jēga tikai pamatmetožu izmantošanas prasmju attīstīšanai. Tieši to radošā izmantošana ļauj ātri un pareizi atrisināt skaitļošanas problēmas.
Dažkārt, risinot aprēķinu piemērus, ir ērti pārslēgties no izteiksmju pārveidošanas ar skaitļiem uz polinomu pārveidošanu. Apsveriet šādu piemēru.
Aprēķiniet visracionālāk:
3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119
Risinājums.
Lai a = 1/117 un b = 1/119. Tad 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.
Tādējādi doto izteiksmi var uzrakstīt kā (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b.
Pēc vienkāršu polinoma transformāciju veikšanas iegūstam 10a vai 10/117.
Šeit mēs esam ieguvuši, ka mūsu izteiksmes vērtība nav atkarīga no b. Tas nozīmē, ka esam aprēķinājuši ne tikai šīs izteiksmes vērtību, bet arī jebkuru citu, kas iegūta no (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b, aizstājot vērtības no a un b. Ja, piemēram, a = 5 / 329, tad atbilde būs 50 / 329 , neatkarīgi no b.
Apskatīsim vēl vienu piemēru, kura risinājums, izmantojot kalkulatoru, ir gandrīz neiespējams, un atbilde ir pavisam vienkārša, ja zināt pieeju šāda veida piemēru risināšanai
Aprēķināt
1/6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)
Risinājums.
Pārveidosim nosacījumu
1/6 71024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7–1) =
1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 - 1) =
1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 - 1) =
1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =
1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =
1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 - 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 - 1) = 1/6
Apskatīsim vienu piemēru, kas jau ir kļuvis mācību grāmata eksāmena materiālos pamatskolas kursam.
Aprēķiniet summu:
1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =
= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =
= 1 – 1/121 = 120/121.
Tas ir, šī problēma tika atrisināta, aizstājot katru frakciju ar divu frakciju starpību. Summa izrādījās pretēju skaitļu pāri visiem, izņemot pirmo un pēdējo.
Bet šo piemēru var vispārināt. Apskatīsim summu:
k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1) k) (n + mk))
Uz to attiecas tas pats pamatojums, kas iepriekšējā piemērā. Patiešām:
1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));
1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) utt.
Tad atbildi konstruēsim pēc tās pašas shēmas: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))
Un vēl par “garām” summām.
Summa
X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024
var aprēķināt kā ģeometriskās progresijas 11 terminu summu ar saucēju 1/2 un pirmo biedru 1. Bet tādu pašu summu var aprēķināt 5. klases skolēns, kuram nav ne jausmas par progresiju. Lai to izdarītu, pietiek veiksmīgi atlasīt skaitli, ko pievienosim summai X. Šis skaitlis šeit būs 1/1024.
Aprēķināsim
X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.
Tagad ir skaidrs, ka X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .
Otrā metode ir ne mazāk daudzsološa. Izmantojot to, jūs varat aprēķināt summu:
S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.
Šeit “laimīgais” skaitlis ir 11. Pievienojiet to S un vienmērīgi sadaliet starp visiem 11 terminiem. Katrs no tiem saņems 1. Tad mums ir:
S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;
Tāpēc S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.
1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
Klases īpašības
5 “A” klase pēc sastāva ir neviendabīga, daži bērni ir diezgan spēcīgi zināšanās, bet izceļas arī vājie. Kopumā stunda ir enerģiska, skolēni ir ieinteresēti un labprāt seko skolotāja iniciatīvām.
Tēma: Racionālas aprēķina metodes (stunda ir noslēguma nodarbība, kas tiek vadīta pēc tēmas: “Izteikumu vienkāršošana” otrajā ceturksnī, Nr. 3)
Nodarbības veids: materiāla kopsavilkums
a) izglītojošs
- atkārtojiet naturālo skaitļu saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas īpašības
- nostiprinās zināšanu teoriju praksē
- parādīt racionālu uzdevumu izpildes veidu priekšrocības, t.i., parādīt, ka šī projekta izveide ir nepieciešama un nozīmīga pašiem bērniem
- pilnveidot prasmi pielietot metodes praksē;
b) attīstās
- attīstīt spēju izdarīt secinājumus, sistematizēt materiālu, salīdzināt metodes ar konkrētu ēku, skaidri formulēt domas
- attīstīt spēju reflektēt par savu kognitīvo darbību
- veidot radošu apziņu, patiesu aizraušanos ar darbu;
c) izglītojošs
- izkopt neatkarību, kolektīvismu, spēju ieklausīties vienam otrā, cienīt citu viedokli, bet arī prast apliecināt savu.
Aprīkojums: magnētiskā tāfele un magnēti, flomasteri, koku lapas (albumu lapas), kaķa Matroskina un Šarika bildes, ekrāns slaidiem.
| Nodarbības posms, laiks | Uzdevumi | Skolotāju aktivitātes | Studentu aktivitātes | Piezīme |
| es Org. Mirklis |
Labas gribas veidošana attiecībās | - Sveiki puiši! Pārbaudiet, vai viss ir gatavs nodarbībai. Pasmaidiet viens otram, tagad uzsmaidiet man! Es redzu, ka jums ir labs garastāvoklis, sāksim nodarbību! |
- pasmaidi Vispārējā atmoda |
- uz ekrāna ir 1 slaids ar tekstu “Smaids” |
| II Zināšanu atjaunināšana |
Intriģējoši bērni Neuzkrītoši vediet uz nodarbības tēmu Apkopojiet posmu |
- Puiši, kaķis Matroskins un Šariks šodien strādās ar mums. Bērni, jums jāatrisina 2 piemēri, pēc Šarika lūguma mēs atrisinām visu nodarbību! (Es eju cauri rindām un skatos uz risinājumu) Ko tu dari? (pārsteigts!) Labi padarīts! Ir pagājusi tikai viena minūte! Apskatīsim, kā kaķis Matroskins un Šariks atrisināja šos piemērus. Tā nolēma kaķis Matroskins, bet Šarikam tas ir grūti. Kā jūs izlēmāt? Kurš atšķiras? Kaķis Matroskins interesējas par to, kas šajā metodē ir labs, kāpēc tā tika izmantota? Šī metode ir īpašība! Kā var izlasīt šo īpašumu? Lūdzu, precizējiet par ko? Pastāstīsim vēlreiz, ko šis īpašums mums ļauj |
- urrā! (izsaucieni no vietas) (kāds reizina ar kolonnu!) Es jau esmu izlēmusi! Puišu atbildes Ļauj jums izlemt: Ātrāk, Ērts, Vieglāk, vienkāršāk Ietaupa laiku Sadalītais likums Saskaitīšana, atņemšana Vienkāršojiet izteicienus Izlemiet ātrāk Vieglāk, vienkāršāk |
- kaķa Sailor-kin un Šarika zīmējums uz tāfeles Uz tāfeles 69*27+31*27=22*87-102*87= (kolonnā) 3) 27*(69+31) =2700 2. slaids uz ekrāna |
| III Jaunas koncepcijas ieviešana |
Ieviest jaunu koncepciju | – Visus šos vārdus var aizstāt ar vārdu: racionāls, kur ikdienā tu esi dzirdējis šo vārdu? | - televīzijā, rūpnīcās racionalizēti sastrēgumi, sabalansēta diēta |
3 slaids |
| IV Tēmas definīcija |
Definējiet tēmu | - Puiši! Šariks mēģina atrisināt citu piemēru, izmantojot to pašu metodi! Es piedāvāju viņam palīdzēt Kā man vajadzētu saukt šo īpašumu? Vai tas ir racionāls veids? Vai šie ir vienīgie divi veidi, ko mēs zinām? Labi, formulēsim tēmu un pēc tam uzskaitīsim, kādas citas īpašības mēs zinām. Kāda ir nodarbības tēma? Jūsu minējumi. Ar kādu vārdu tēma tiks saistīta? Apkoposim! Kas notika? |
- (skolēni izlemj) (ir risinājuma attēls) Nevar atrisināt tāpat Reizināšanas kombinatīva īpašība Ļauj izlemt vieglāk, ātrāk, vienkāršāk. Nē, mēs vēl nezinām veidus! Vārdam “metode” var pievienot “ko” Aprēķinu metodes! Racionāli Racionālas aprēķinu metodes. |
Uz galda Nodarbības tēma |
| V Mērķauditorijas atlase |
Nodarbības mērķu noteikšana | - Puiši! Ja aizstājat vārdu “ceļš! Vai būs iespējams piemērot vienus un tos pašus jēdzienus “metodēm” un “metodēm”: “vieglāk, ātrāk, vienkāršāk”? Ko vēl var teikt par metodēm? Parādīsim to visu slaidā Ko jūs pamanāt īpašu diagrammā? Kādi tad ir katras stundas mērķi? Apkoposim: Atcerieties, kādas metodes mēs zinām, un organizējiet šīs metodes Atcerieties izteiksmju vienkāršošanas paņēmienus Stiprināt to pielietojumu praksē Iemācieties salīdzināt metodi ar konkrētu piemēru Šie ir mūsu nodarbības mērķi vai idejas |
- Jā! Un aizstāsim “kurš” ar vārdu “kas”! Kur tās izmanto? Vārds “kas” ar “?” Atcerieties, kādas metodes mēs zinām, kādas īpašības, noteikumus Var būt jauni veidi, kā uzzināt. - (kopā ar studentiem) |
6 slaids |
| VI Zināšanu sistēma a) 0. posma mērķa noteikšana. 5 min b) individuālais darbs 1,5 min c) strādāt pāros d) grupu darbs |
Projekta izveide Izpildes autonomija Izrunājiet savas piezīmes Vispārīga risinājuma meklēšana, secinājumi |
- Puiši! Šodien jāizveido projekts, kurā tiks ierakstītas Tev zināmās metodes (vismaz 8) un viss, ko mēs zinām par metodēm. Projekts būs koka formā, kuram piestiprināsim lapas. Šariks nāca klajā ar ieteikumu: padomājiet 2 minūtes pats, atcerieties veidus, kā vienkāršot izteicienus. Vai atbalstīsim ideju? Strādājam pa pāriem Un tagad apsēžamies grupās (4 cilvēki) Šariks un kaķis Matroskins strādās pa pāriem. Pārrunājiet savas domas un lēmumus. Jums ir lapas uz jūsu rakstāmgaldiem, pierakstiet uz katras no tām vienu metodi, tad mēs tās piestiprinām pie koka Protams, ar piemēriem tas būs vēl skaidrāk. Izvēlieties, kurš atbildēs |
- kā šis projekts izskatīsies? (studenti strādā patstāvīgi, veic piezīmes) - (balss) (katrs students izsaka savas domas) (grupas pārstāvis pieraksta metodes, pārējie komentē) Vai varat sniegt piemērus? |
Grupas ir teritoriāli izolētas |
| VII Fiziskā-kultūras-tūres-minūte |
Studentu atpūta |
|
Vada viens no bērniem | 8. slaids: "smieklīgas bildes" |
| VIII Projekta aizsardzība |
Apkopojiet visu grupu darbu | - aicināti katras grupas pārstāvji. . . (skolotājs vada darbu) Šis ir koks, ko mēs ieguvām, un tagad apskatīsim diagrammu, ko kaķis Matroskins izveidoja pēc jūsu runu noklausīšanās. |
Studentu frāzes: Piekrītu Petijai... Mūsu grupa vēlas pievienot... To var rakstīt arī ar burtiem |
Uz galda: Koka stumbrs, bērni ar magnētu piestiprina lapas pie magnētiskās tāfeles (vienam magnētam tās pašas atbildes) |
1. pielikumā ir parādīta projekta shēma.
| IX Testēšana |
Pārbaudiet metožu pielietojumu praksē | - Puiši! Mēs atcerējāmies teoriju, un tagad mēs pārbaudīsim, kā jūs pielietosit savas zināšanas praksē Tagad apmainiet piezīmju grāmatiņas ar savu kaimiņu un pārbaudiet viņa darbu. Vērtēšanas standarti: Nav kļūdu: “5” 2 kļūdas: “4” 3 kļūdas: "3" un ja vairāk par 3, tad vajag trenēties Kāds varētu būt iemesls? |
(skolēni izlemj) | Slaids 10 uz tāfeles |
| Pārbaude | ||||
| B-I | B-2 | |||
| 1) Dariet to ērtā veidā | ||||
| a) (30-4) *5= b) 85*137-75*137= G) 25*296*4= e) 633-(163+387) = |
a) 7*(60-3) = b) 78*214-78*204= G) 4*268*25= e) (964+27) -464= |
|||
| 2) Atrisiniet vienādojumu | ||||
| x+3x+x=30 | x+5x+x=98 | |||
| (novērtējiet viens otru) Es nepaspēju laikā Risināts, neizmantojot metodes, veicot kolonnas |
Ekrānā ir 11. slaids ar risinājumu | |||
| X Apkopojot 2 minūtes (pats) 2 min (balss) |
Pārdomājiet savu darbu | - ko tu atcerējies? Ko tu atcerējies? Ko jaunu uzzināji? Ko jūs nodrošinājāt? Kādu secinājumu izdarīji sev? Labi darīti puiši! Un kaķis Matroskins atcerējās daudzas metodes, bet Šarika domas bija apjukušas, atkārtosim visas metodes vēlreiz |
- risinot konsolidēja īpašību izmantošanu Iemācījās salīdzināt īpašumu ar konkrētu piemēru Es atcerējos, ka rekvizītu raksta, izmantojot mainīgos Uzzinājis, kas ir “racionalitāte”. Sapratu, ka katram piemēram ir sava pieeja Sapratu, ka likumi darbojas abās līnijās Es sapratu, ka rac. ērtākos veidus Šīs metodes arī ļauj ietaupīt laiku, vienkāršot lēmumu un dzīvi. Sapratu, ka metodes ļauj atrisināt mutiski, bez kolonnām |
|
| XI | Dodiet norādījumus uz d/z | - Puiši! 1. runājiet mājās ar ģimeni un draugiem, varbūt viņi zina kādus citus veidus 2. uztaisi projektu, ar saviem piemēriem, tas var būt mākoņu, ziedu u.t.t. veidā, var izmantot datoru 3. Parādiet jaunākās māsas un brāļus, lai viņi ieinteresētu matemātiku 4. sastādīt atskaiti par projektu saskaņā ar piezīmi |
- uz stenda atrodas atgādinājums | |
| XII Secinājums |
- kaķis Matroskins un Šariks saka “paldies” un atvadās no jums, puiši! Es arī saku jums "labi darīts stundā" un uz redzēšanos | 12. slaids Teksts “Labi darīts” |
||